「 编者按 」
从哥白尼颠覆性的《天体运行论》，到牛顿翻新性的《当然形而上学之数学旨趣》，再到达尔文始创性的《物种发源》……一部部科学经典著述，犹如东说念主类文雅史上秀气的里程碑，承载着科学家的非凡细察与不懈追求，奠定了当代科学基石，铺就了东说念主类非常的门道，引颈咱们迈向愈加广宽的学问天地。
为让更多读者感受科学魔力，北京市科学时候协会推出“科学门道”专栏，对科学经典著述进行深化证实。接待您加入这场跨越时空的科学对话，重温科学史上令东说念主叹惜的时刻，一同晓悟科学之好意思，感悟智谋之光。
本期咱们带来《巧妙的数学》一书，让咱们沿路感受数学中的趣、秘、异、好意思、陈腐、严谨、实用。
在许多东说念主的眼中，数学似乎仅仅那些令东说念主头疼的公式运算和繁琐的逻辑推理。关联词，数学远不啻于此，它荫藏着一种私有的好意思感，恭候咱们去发现和赏玩。
当咱们透过公式和定理的表象，深化探究其背后的结构和限定时，会发现数学天下中蕴含着令东说念主叹惜的对称、融合和秀美。
荷兰画家梵高的后期作品里，不错发现一些旋涡式的团。据《泰晤士报》报说念，墨西哥物理学家乔斯·阿拉贡经过商量发现，这些旋涡与科学家用来面容湍流好意思瞻念的数学公式不约而同
大要，当你看完这些图之后，会对数学产生一种全新的意会和青睐，发现它不仅是求解问题的用具，更是赏玩天下的另一种姿首。
“黄金数”——几何学中的瑰宝
巴特农神庙，神庙的长与高之比约为0.618
0.618被达·芬奇称为“黄金数”，而“黄金分割”则被天体裁家开普勒赞为几何学中的两大瑰宝之一（另一件瑰宝是毕达哥拉斯定理，即勾股定理）。
顾名想义，黄金数被赋予黄金雷同的熠熠光彩和腾贵价值，受到了东说念主们平凡的接待。
事实上，黄金分割（比）一直统率着古代中东地区和中叶纪时辰的西方建立艺术，不管是古埃及的金字塔，依然高古典的巴特农神庙；不管是印度的泰姬陵，依然巴黎的埃菲尔铁塔，这些众东说念主瞩狡计建立都是期骗黄金分割比例旨趣创作的伟大艺术品。
—些稀奇的名画佳作、艺术珍品也处处体现了黄金分割（比）——它们的主题大批在作品的黄金分割点处（对于绘画、雕镂、建立等艺术来讲，主题中的0.618无意表当今横向，无意表当今纵向。唯有你肯仔细寻觅，便不难发现这个事实）。
在米勒的名画《拾穗者》中，东说念主们发现其构图中期骗了黄金分割
对于某些音乐、电影、体裁作品，其中乐章、故事、情节的高潮常常在全曲、全剧、全书的0.618前后。
更好奇的是，东说念主体中有着许多黄金分割的例子，比如：东说念主的肚脐是东说念主体全长的黄金分割点，而膝盖又是东说念主体肚脐以下部分体长的黄金分割点，以致有东说念主竟以此次第去揣测一个东说念主的体形是否次第或健好意思。
达·芬奇在《维特鲁威东说念主》这幅画中，把东说念主体与几何中最竣工而又浅近的图形（圆和正方形）辩论到了沿路，图中还蕴藏着黄金分割（比）。
达·芬奇《维特鲁威东说念主》，东说念主的身高是按0.618所画，其他部位也按特定比例次第绘图，比如双手伸开的宽度等于身高
好意思和对称紧密接续
对称主见领先源于几何，如今它的含义已远远超出几何领域。对称亦然一种融合好意思，毕达哥拉斯、柏拉图所认为的寰宇结构最浅近的基元——正多面体是对称的；他们可爱的图案五角星亦然对称的；圆是最浅近的禁闭弧线，亦然一种最竣工的对称图形。
德国驰名数学家魏尔斯特拉斯说“好意思和对称紧密接续”，从建立物外形到平日生计用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的构成到分子晶体的排布……其中都有对称。
北京天坛的建立呈现对称结构
古希腊东说念主十分寄望各式对称好意思瞻念，以致他们竟创立一种学说，认为天下一切的限建都是从对称来的。他们以为最对称的东西是圆，是以他们把天体裁中的天体通顺轨说念画成圆的，其后圆上加圆，就发展成为希腊其后的天体裁。
开普勒商量天体运行时，再一次用上对称不雅点。他同期发现，用圆上加圆对天体运行限定解释时并不可行，可是将圆换成椭圆就不错了。
倒影看上去是一种最天真实对称
20世纪商量发现：对称的要紧性在日积月累，这从某个方面也证实了希腊东说念主主见的合感性。
在能源学问题中，按照对称不雅点来计划不错获得许多要紧论断。举例一个氢原子中，一个电子圆形轨说念是原子核作用在电子上库仑力的对称成果和字据。这里对称意味着在总计方朝上力的大小都雷同。
在中国，对子是一种国学，雅称“楹联”，其笔墨破坏，意旨深重，对仗工致、平仄相助，号称中华英才的文化瑰宝。从笔墨个数和寓意上看，对子亦然一种对称。
“圆”是最好意思的图形
诗东说念主但丁曾奖饰说念：“圆是最好意思的图形。”从古于今，东说念主们对圆有着特殊亲切的格式。古钱币、徽章、某些图案遐想中，都可找到圆。这在某种进度上是基于圆的竣工与破坏，其实圆亦然一个最竣工的对称（轴对称和中心对称）图形。
蜘蛛网上的水点
数学家对于破坏的追求永无尽头。正如牛顿所说：“数学家更容易继承漂亮的成果，不可爱丑陋的论断，况兼他们也异常小心优好意思与雅致的证明，不可爱粗劣与繁复的推理。”
与圆辩论的图形还有许多，比如圆锥、圆柱、球……与圆辩论的数学命题，更是不堪摆设。
古希腊学者阿基米德死于迫切西西里岛的罗马士兵之手。东说念主们为系念他，便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形，以系念他发现“球的体积和名义积均为其外切圆柱体积和名义积的三分之二”这一定理。
外传阿基米德正在全神灌输地画几何图，又名罗马士兵闯了进来，阿基米德疾声喝说念“别动我的圆！”士兵用利剑刺杀了阿基米德
把一些要紧或知名的数字写成一个圆的螺线形（且由大到小螺旋式顺时针形容），这种图形常会是令东说念主赏心悦狡计。
1994年，由一些破译密码志愿者构成的小组告捷破译了一个有128位数字的密码。密码破译后译为：\"The magic words are squeamish ossifrage\"（意为“魔术的谈话是易受惊吓的髭兀鹰”）。
分形——不端弧线的数学分支
微积分发明之后，数学家们为了某种狡计而捏造的弧线，耐久以来一直视为数学中的“怪胎”（从融合与否角度看），如构造流畅但不可微函数、周长无尽所围面积为零的弧线等。
关联词这一切却被慧眼识金的数学家视为张含韵，从某些角度计划它们又真实被当作数学中的“好意思”。东说念主们将它们经过加工、索要、抽象、抽象而创立了一门新的数学分支——分形。
分形几何是好意思籍法国数学家芒德布罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，它商量的是平凡存在于当然界和东说念主类社会中一类莫得特征法度却有着相似结构的复杂体式和好意思瞻念。
它与欧氏几何不同。欧氏几何是对于直观空间形骸关系分析的一门学科，商量的是直线、圆、正方体等轨则的几何形骸，这些形骸都是东说念主为的。可是，“云彩不是球体、山峰不是锥体、海岸线不是圆周”。
分形图示例
20世纪60年代，英国《科学》杂志刊载芒徳布罗的文章《英国海岸线有多长？》。这个看似不是问题的问题，仔细品尝后却会令东说念主大吃一惊：除了能给岀怎样估算的方法性面容外却莫得服气的谜底——海岸线长会跟着度量标度（或步长）的变化而变化。
东说念主们在测量海岸线永劫（详细它是一条不轨则弧线），老是先假设一个标度，然后用它沿海岸线步测一周获得一个多边形，其周长可视为海岸线的类似值。光显由于标度选取的不同，海岸线长的数值不一，且标度越细致，海岸线数值越大。
真正地讲，当标度趋向于0时，海岸线长并不趋向于某个详情的值，而会变得无尽大（无尽不是数，而是一个极限历程）。
海岸线测量暗示图
许多联系的分形会产生令东说念主感风趣的图形，好意思国驰名物理学家惠勒说：“不错信托，未来谁不熟谙分形，谁就不可被认为是科学上的文化东说念主！”
用有限来填满无限
数学中“用有限来填满无限”是一个好奇的话题。20世纪70年代，英国物理学家（亦然无意把数学作为文娱消遣的数学家）彭罗斯运转有风趣商量在归拢张平面上用不同的瓷砖铺设的问题。
1974年，当他发表成果时，东说念主们都大吃一惊。文中他详情了三类瓷砖（下称彭罗斯瓷砖），第一类两种分别为风筝形和镖形，它们是由归拢个菱形剪出的；第二类是由边长相通、胖瘦不一的两种菱形构成的（好奇的是它们的面积比恰为0.618）；第三类则由正五边形、菱形、五角星形、黄冠形四种图形构成。
这种瓷砖的奇妙之处在于：用它们中的每一类都可无相通又无轻佻地铺满平面，同期铺设结构不具“平移对称性”，也便是说，从举座上看图形不重复。
更为奇妙的是，利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时，还可从铺砌的图形中找出上述瓷砖本身的放大“克隆”。
奇妙的莫比乌斯带
一张纸，一块布，你不错根据它们的体式划分它的正面和反面，可践诺生计中是否存在莫得正反面的曲面？
把一条长的矩形纸带扭转180°后，再把两头粘起来，这就成了仅有一个侧面的曲面（无正反面），它被东说念主们称为莫比乌斯带，由德国数学、天体裁家莫比乌斯在1858年发现。
莫比乌斯带的造成图示：矩形带扭转180°，两头粘起来，获得莫比乌斯带
莫比乌斯带的出现，使东说念主们对于正、反面主见有了新的意志。从另外的角度看，这种曲面是一条永远走不到尽头的（有限）曲面。
一支笔沿莫比乌斯带名义移动（不离开曲面），不久它又回到最先。
效法莫比乌斯带而遐想的儿童游戏门径
一只蚂蚁不错爬过莫比乌斯带的通攻击面而毋庸跨越它的边际，这是拓扑学中的一个驰名问题。
数学中1+2+3+……是一种无尽（无尽大），它莫得上界。而莫比乌斯环这种“永远不到头”光显也体现一种无尽。难怪有东说念主认为，数学标记∞（无尽大）恰是莫比乌斯带在平面上的投影。
科学经典推选
巧妙的数学
吴振奎 著
北京大学出书社
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